بررسی و تحلیل همگرایی برخی روشهای طیفی برای حل معادلات دیفرانسیل کسری

در این رساله به بررسی و تحلیل همگرایی روشهای طیفی برای حل عددی برخی معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری می پردازیم. بعد از ارائه مقدمات و تعاریف اولیه، ابتدا روش عهم محلی ژاکوبی را برای حل عددی معادلات دیفرانسیل کسری چندمرتبه ای معرفی می کنیم. با استفاده از قضایای وجود و یکتایی می توان نتیجه گرفت که جوابهای این دسته از معادلات دارای ناهمواریهایی در برخی مشتقات جواب در نقطه آغازین می باشند. این ویژگی باعث می شود که روش هم محلی در شکل معمول برای حل عددی این دسته از معادلات از سرعت همگرایی پایینی برخوردار باشد. برای رفع این مشکل با استفاده از نوعی هموارسازی معادله اصلی را به معادله ای با جواب هموارتر تبدیل می کنیم. همچنین ثابت خواهیم کرد که پس از این هموارسازی روش هم محلی برای حل عددی معادله جدید دارای نرخ همگرایی نمایی می باشد. در ادامه روش تاو محاسباتی را برای حل عددی معادلات انتگرال-دیفرانسیل کسری پیاده سازی می کنیم. همچنین تحلیل همگرایی روش را ارائه داده و نشان می دهیم هنگامیکه جوابهای معادله هموار باشند روش پیشنهادی دارای نرخ همگرایی از مرتبه نمایی است. نهایتاً از روش گالرکین با پایه های ژاکوبی تعمیم یافته برای تحلیل عددی معادلات دیفرانسیل کسری چندمرتبه ای با جوابهای هموار استفاده نموده و از خواص این نوع از توابع متعامد در پیاده سازی روش کمک می گیریم. در تمام روشهای پیشنهادی قضایای وجود و یکتایی دستگاه معادلات جبری بدست آمده از اعمال روش را بررسی می کنیم.